La idea para escribir este artículo vino tras un hilo en el que 1p0kerboy nos estábamos explicando de manera atropellada los mismos cálculos el uno al otro… mostrando parte de la información de manera un poco confusa. Aquí expreso todo esto de manera mucho más clara gracias a la discusión con 1p0kerboy.

En este mensaje voy a cubrir una serie de aplicaciones estadísticas para una mejor comprensión de la muestra de la varianza. Explicaré, asimismo, cómo usar la información obtenida de Poker Tracker para estimar intervalos en los que se encuentra el “verdadero” ratio de ganancias en un nivel dado de confianza. Antes de comenzar, voy a incluir un breve descargo de responsabilidad/rajada que es en realidad más un comentario técnico; puedes saltarte tranquilamente esta sección si no estás familiarizado de alguna forma con la idea de medir la varianza cuantitativamente y con la distribución normal… el resultado de este apartado es que las matemáticas que se mostrarán a continuación son una [probablemente ligera] estimación a la baja de la varianza real.

\comienzo rajada
La ganancia o pérdida de una mano de póquer es un valor aleatorio, pero con seguridad no es un valor normalmente distribuido. La distribución de las ganancias de la mano, sin embargo, tiene algún valor promedio. Así, el teorema del límite central nos asegura (siempre que el resultado de cada mano sea independiente e idénticamente distribuido) que, si consideramos muestras de la suma de ganancias de un número grande de manos, cada una de esas muestras es, de hecho, un resultado aleatorio normalmente distribuido.

Mientras un rango de 30 a 100 eventos tomados en conjunto es considerado normalmente suficiente para aplicar el teorema del límite central, las manos de póquer son un caso un poco más extremo, con eventos grandes (+/- 100 ciegas grandes) ocurriendo con una frecuencia tal que no creo que una muestra de 100 manos esté cercana a ser normalmente distribuida. La desviación estándar de la muestra de 100 manos proporcionada por el PT subestima la varianza verdadera. Por ejemplo, usando los números empleados más adelante en este artículo, la probabilidad de ganar 4 cajas (200PTBB) en 100 manos es 1 entre 5 millones.

Para concluir me gustaría destacar que, aunque las manos no son ni idénticamente distribuidas del todo (las distribuciones varían con la posición relativa al botón al menos) ni independientes (dependiendo de los rivales que tengamos, nos encontramos con series de manos con expectativa y varianza mayor o menor que la que tendríamos si jugáramos contra otro conjunto de rivales distinto). Estas variaciones de las asunciones del teorema del límite central conducen de nuevo a subestimar ligeramente la varianza total.
\fin rajada

Información de base

Antes de poder aplicar la información de este artículo, necesitas una estimación de tu ratio de ganancias, el número de manos total sobre la que está medido y un cálculo de la desviación estándar o varianza de tu ratio de ganancias para la muestra escogida. En PT, los dos primeros datos se encuentran en la pestaña “General Info.“. Para obtener la desviación estándar es preciso seleccionar la pestaña “Session Notes“, pulsar en “More detail…” y, en la ventana emergente, el texto en blanco que contiene “Standard Deviation/100 Hands:“, que lo lista como una cantidad en $ y en ciegas grandes. Debería estar en un rango de 20 a 200 ciegas grandes, dependiendo del estilo de juego y del tipo de mesas en las que juegues.

Voy a asumir que ya sabes lo que significa el ratio de ganancias; hay que tener en cuenta que como normalmente se mide es en BB/100, siendo BB el acrónimo para ciegas grandes o apuestas grandes (dos veces la ciega grande). La última es la más estándar (a pesar de que tiene menos sentido para NL/PL) y es la que utilizaré en los cálculos (en adelante, escribiré ptBB/100 para indicar apuestas grandes del PokerTracker). Para cambiar el valor con el que PT muestra las estadísticas de ganancias, basta con ir a la pestaña “Preferences” y en la parte derecha en el centro de la pantalla, marca o desmarca “treat ‘BB’ For NL/PL As Big Blind Amt.” (se encuentra debajo del botón “Custom Levels…“.

La desviación estándar (SD) proporcionada por PT indica la SD de una muestra de 100 manos. La SD es una medida de la variación sobre el resultado medio -cuanto mayor sea la desviación estándar, más probable es que una muestra aleatoria de 100 manos se desvíe en mayor medida del ratio medio de ganancias-. Para números grandes de manos, asumiremos que las ganancias siguen una distribución normal. Las probabilidades basadas en una distribución normal son bien conocidas, emplearemos una tabla de distribución normal tipificada (aquí hay una) para calcular las probabilidades de varios resultados de variables aleatorias normalmente distribuidas.

Una introducción rápida a la distribución normal

Pongamos que las ganancias en cada una de las muestras de 100 manos están normalmente distribuidas con, por ejemplo, un beneficio medio de $15 y una desviación estándar de $100. Esto quiere decir que, cuando se jueguen 100 manos, aproximadamente el 68% de las veces las ganancias serán $15 +/- $100; es decir, entre -$85 y +$115. Del mismo modo, el 95% de las veces las ganancias serán $15 +- 2*($100); o lo que es lo mismo, entre -$185 y +$215. Y el 99,7% de las veces las ganancias serán $15 +/- 3*($100); o sea, entre -$285 y +$315. Conociendo la media y la SD de cada una de las muestras de 100 manos, se puede usar una tabla de distribución normal tipificada para calcular la probabilidad de que las ganancias de una muestra de 100 manos se hallen dentro de un intervalo dado (de aquí vienen los porcentajes 68, 95 y 99.7… más adelante en este artículo explicaré cómo puedes calcular este tipo de cosas tú mismo).

La cuestión es que no sabemos realmente cuál es nuestro verdadero ratio de ganancias. Si jugamos 100 manos y ganamos $15, podemos suponer que es de $15 cada 100 manos, pero en lugar de hacer una suposición como esta, sería mejor saber cómo es de probable que nuestro ratio real de ganancias se acerque a esta suposición. Si por casualidad conociéramos nuestra SD verdadera, podríamos construir intervalos de confianza… Asumamos que nuestra SD real es $100 cada 100 manos. Entonces un intervalo de confianza del 68% sería (-$85, +$115), un intervalo de confianza del 95% sería -$185, +$215, y así sucesivamente (estos intervalos son tan amplios porque 100 manos es, desgraciadamente, una muestra ridículamente pequeña). Un detalle importante a señalar es que el nivel de confianza (68%, 95%, etc.) NO es la probabilidad de que nuestro verdadero ratio de ganancias se encuentre en el intervalo calculado. Este tipo de probabilidad es imposible de conocer sin hacer asunciones mucho más complicadas y sin incluir un conocimiento más profundo de base. Lo que un 68% de intervalo de confianza de -$85, +$115 nos indica es que, si nuestro ratio real de ganancias fuera menor de -$85 cada 100 manos (o mayor de +$115 cada 100 manos), entonces en cualquier muestra de 100 manos dada, tener un resultado tan bueno como +$15 (o tan malo como -$15) ocurriría menos del 32% de las veces (100% – 68% = 32%).

Cálculos

La SD de cada una de nuestras muestras de 100 manos es algo que converge mucho más deprisa que nuestro ratio de ganancias y, tras un número relativamente pequeño de manos (por supuesto, hablamos de al menos miles de manos si queremos un dato fiable), podemos asumir que la SD proporcionada por PT es una muy buena aproximación de nuestra “verdadera” SD cada 100 manos.

A continuación, nos gustaría conocer la SD de nuestra muestra completa de manos… por ejemplo, vamos a poner que hemos jugado 138.200 manos y el PT nos dice que nuestra SD para cada muestra de 100 manos es de 38,8439 ptBB. Aquellos que no estén interesados en el razonamiento de los cálculos pueden saltar directamente al texto en negrita. Como nuestra muestra de138.200 manos es la suma de 1.382 muestras de 100 manos, la manera intuitiva de obtener el resultado sería coger la SD de 34,8439 y multiplicarla por 1.382… La SD no se calcula de esta manera “aditiva”. Pero la varianza de nuestras muestras sí tiene esta propiedad. La varianza es, por definición, el cuadrado de la SD.

Así, la varianza de una muestra de 100 manos es igual a (38,8439)^2 = 1.508,85 (ptBB^2). La varianza de nuestra muestra completa de 138.200 manos es, entonces, igual a 1.382*1.508,85 = 2.085.230 (ptBB^2). Ahora podemos calcular la raíz cuadrada de este número para hallar la SD de la muestra completa: SD = sqrt(2.085.230) = 1444,03 ptBB.

Debido al hecho de que el ratio de ganancias se mide en ptBB/100, estaría mucho mejor si calculáramos la SD de la muestra en esa misma unidad. Nuestra SD de 1.444,03 ptBB está calculada sobre 138.200 manos, así que, cambiando la unidad, tenemos: SD = 1.444,03 / 1.382 = 1,045 ptBB/100.

Como atajo, se puede recordar que la SD (en ptBB) de la muestra de 138.200 manos, es igual a la SD de la muestra de 100 manos sqrt(1.382) veces y, si en lugar de eso, la queremos en ptBB/100, hay que coger la SD de la muestra de 100 manos y dividirla por sqrt(1.382):
SD = 38,8439 * sqrt(1.382) = 1.444,03 ptBB
SD = 38,8439 / sqrt(1.382) = 1,045 ptBB/100

Ahora estamos preparados para medir con precisión el error de la estimación de nuestro ratio de ganancias. Supongamos que en la muestra de 138.200 manos hemos ganado un total de 4.422,4 ptBB o, lo que es lo mismo, un ratio de ganancias de: 4.422,4 / 1.382 = 3,2 ptBB/100. Hemos calculado que la SD de esta muestra de 138.200 manos es 1,045 ptBB/100, así, un intervalo de confianza del 68% para nuestro ratio de ganancias es (3,2 +/- 1,045) ptBB/100, un intervalo de confianza del 95% es (3,2 +/- 2*1,045) ptBB/100, y así sucesivamente. Puedes hacerte una buena idea de tu verdadero ratio de ganancias simplemente recordando que puedes calcular un intervalo de confianza del 95% para tu ratio real de ganancias, sumando o restando a tu ratio de ganancias el doble de la SD (en ptBB/100) calculada.

El resto del artículo precisa de la utilización de una tabla de distribución normal tipificada. Si queremos encontrar un intervalo de confianza del 98%, debemos mirar cuántas SD nos tenemos que desviar desde la media en cada dirección para incluir el 98 de la distribución normal. Normalmente, cuando encontramos un intervalo de confianza del 98%, querríamos que el 2% de la distribución que no incluimos se dividiera equitativamente – el 1% de los valores más altos y el 1% de los valores más bajos-. De esta forma, deberíamos mirar en la tabla de distribución normal tipificada cuántas SD por encima de la media debemos estar para que quede solamente el 1% de la distribución; por ejemplo, buscamos el valor Z que marca .99 en la tabla. Este valor es 2,33 (y -2,33 es el valor Z con únicamente el 1% de la distribución normal por debajo de él), así que, siguiendo con nuestro ejemplo, un intervalo de confianza del 98% para nuestro verdadero ratio de ganancias es (3,2 +/- 2,33*1,045) ptBB/100.

Ahora echemos un ojo a un problema similar. Queremos encontrar para qué nivel de confianza podemos estar seguros de que somos un jugador ganador. Básicamente lo que queremos saber es nuestro nivel de confianza en el intervalo (0, infinito). Las cantidades a encontrar son para las que la distribución normal con media 3,2 y SD 1,045 se sitúan por encima del valor 0. Para hacer esto, hay que calcular cuántas SD 0 se aleja de 3,2:
(3,2 – 0) / 1,045 = 3,062 SD.
Usando una tabla de distribución normal tipificada, hallamos que la media solo incluye el 0,11% de los datos, así podemos concluir que tenemos un nivel de confianza del 99,89% de que nuestro ratio de ganancias es positivo.

Si quisiéramos hallar el nivel de confianza en un intervalo arbitrario, pongamos (X, Y), haríamos lo mismo: usaríamos una tabla de distribución normal tipificada para calcular cuánto de la distribución normal está por debajo de X y cuánto por encima de Y; si el 10% está por debajo de X y el 20% por encima de Y, entonces (X, Y) es un intervalo de confianza del 70% (100% – 10% – 20%).

Para aquellos que tengan previsto hacer cálculos similares de forma habitual, recomiendo familiarizarse con las funciones de Excel, NormInv y NormDist, que evitarán usar una tabla de distribución normal tipificada y permitirá encontrar valores con una mayor precisión.
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Para el que haya encontrado interesante el artículo, un enlace en el que se discute por qué no es correcto el cálculo que hace PT de la SD y por qué no sigue una distribución normal (principalmente por Pokey). Otro, a raíz del anterior sobre la varianza y si sigue una distribución normal en muestras de 1000 manos.

Voluntarily Put Money Into the Pot – VPIP(Dinero puesto voluntariamente en el bote): el indicador fundamental de lo selectivo que es un jugador antes del flop, y uno de los mejores indicios sobre el rango de manos de un jugador. En microlímites quieres que el VPIP de los rivales sea lo mayor posible. Cuantas más manos jueguen, peores serán y más dinero les ganarás. El rango normal para un TAG en microlímites se sitúa entre un 14% y un 20% (más sobre esto en siguientes artículos).

Preflop Raise – PFR (Subida antes del flop): el porcentaje de las veces que un rival sube antes del flop. Este número indica cómo ajustarse al rival antes del flop. En primer lugar, si es extremadamente bajo no hay que preocuparse de que el oponente suba con una mano especulativa. Si el jugador situado a tu izquierda tiene un PFR mínimo, puedes ver con manos muy especulativas y esperar llegar barato al flop, dándote maravillosas odds implícitas. Aprovéchate de ello. Sin embargo, si un jugador con un PFR del 2% sube antes del flop, puedes tirar la mayoría de manos especulativas sin preocuparte (NOTA: si te vas a quedar solo contra un rival con el stack completo cuyo PFR es menor del 4% y ha subido 4ó 5 BB, puedes ver tranquilamente con cualquier pareja solo por las odds implícitas, porque si ligas el trío, te llevarás el stack del contrario con mucha frecuencia. Su bajísimo PFR delata sus posibles manos, y la mayoría de estos jugadores comprometerán su stack entero en una mano que es lo suficientemente buena como para convencerles de subir antes del flop). El rango normal de un TAG en microlímites se sitúa entre un 7% y un 10% (más sobre esto en siguientes artículos).

Total Aggression – TA (Agresividad Total): el mejor indicador de lo agresivo que es un rival después del flop. Antes y después del flop son dos situaciones diferentes, y no hay que esperar que un oponente se comporte igual (de pasivo o agresivo) en ambas. Hay jugadores que son muy agresivos antes del flop pero se convierten en calling stations después del flop, y al contrario, limpers recalcitrantes antes del flop que se transforman en psicópatas descontrolados después del flop si ligan una mano. Si ves un rival con una agresividad extremadamente grande, probablemente tengas que jugar pasivo ante él si tienes una mano aceptablemente buena, dejando que apueste por ti. OJO: jugadores con una agresividad muy alta se dividen fundamentalmente en dos tipos: los megaselectivos débiles y los maniacos. Los primeros son jugadores cuya agresividad es alta porque se tiran cuando algún otro apuesta y él no tiene la mejor mano. Los segundos son aquellos que tienen una agresividad alta porque apuestan y suben con cualquier mano. Si sabes distinguirlos, harás mucho más dinero (Indicio: fíjate en los tipos de mano que muestran al final. Si llegan al showdown pocas veces y con una gran mano, seguramente sean megaselectivos débiles. Si pierden la mayoría de las manos en el showdown, con gran probabilidad serán maniacos). El rango normal para un TAG en microlímites se sitúa entre un 2 y un 3 (más sobre esto en siguientes artículos).

Después de la trinidad, las estadísticas que uso en mi HUD:

Folds to Continuation Bet (Porcentaje que se tira ante una apuesta de continuación): probablemente la siguiente estadística más útil tras las tres primeras y una en la que confío plenamente a la hora de tomar decisiones. Cuanto más se tira un jugador ante una apuesta de continuación, más propenso soy a (a) subir antes del flop con ellos en la mano y (b) apostarles cuando no ligo en el flop. No veo ninguna razón para apostar cuando alguien no se va a tirar; en lugar de eso, esperaré a tener una mano legítima y machacar al contrario. Por otra parte, si un rival se tira tras una apuesta de continuación el 60% del tiempo o más, usaré mi posición sin piedad, subiéndole con mucha frecuencia y robando bote tras bote en el flop con una apuesta fuerte.

Continuation Bet – CB (Porcentaje de apuesta de continuación): un dato que puede ayudar a tomar decisiones en la primera calle. Indica la frecuencia con la que el rival apuesta en el flop tras haber subido preflop. Si tiene menos del 65% solo apostará normalmente cuando haya ligado su mano o cuando la situación parezca favorable (p.e.: estar HU con posición y un flop sin peligro aparente ante un pasivo). Un rival fácil de leer normalmente, pero atención al slowplay con cañones que se puede confundir con debilidad y cuidado también con intentar farolearle si tiene un WTSD alto y es capaz de ver con cualquier cosa mejor que un farol; entre el 65% y el 85% apostará la mayoría de situaciones que pudieran parecer favorables y evitará los flop peligrosos (con muchos proyectos o ante varios rivales sin una mano lo suficientemente fuerte); a partir de 85% apostará prácticamente siempre aunque no haya ligado, se convierte en un blanco propicio para subirle de vez en cuando y tirarle de la mano.

Raise Flop – RF (Subida en el flop): un indicador de la fuerza de las subidas del rival en el flop, ayuda a decidir si abandonar la mano. Un valor menor de 10 suele pertenecer a un jugador que solo sube sus manos más fuertes; entre 10 y 12 subirá manos hechas (a partir de TP) y proyectos muy fuertes; un número mayor de 12 indica que al rival le gusta meter presión y subir con todo tipo de proyectos (cuanto mayor este valor, más posibilidades de subida de farol).

Attempted to Steal the Blinds (Porcentaje de intento de robar las ciegas): muy útil a la hora de ver si un rival tiene en cuenta la posición. Desde CO y B, trato este número como el PFR del jugador en esas posiciones, y ajusto mi juego en consonancia. Además, si el porcentaje de robo es significativamente más grande que su PFR, asumo que el rival tiene algo más que simples nociones sobre cómo jugar a esto y le tengo algo más de respeto cuando me enfrento a él. También pienso que tengo bastante más folding equity contra ellos en general, porque los jugadores decentes son poco propensos a comportarse como calling stations y mucho más capaces de tirar una mano decente pero superable.

Folded Big/Small Blind to a Steal (Porcentaje de abandono en SB/BB ante un intento de robo): otro indicador básico de la fuerza de una mano. Si el rival se tira constantemente ante intentos de robo, sé que cuando vea desde las ciegas, tendrá una mano decente. Si suele defender las ciegas, asumo que puede tener cualquier cosa incluso aunque vea una subida considerable. Combinado con el porcentaje de abandono ante una apuesta de continuación en el flop, tengo una idea bastante aproximada de si robar contra ese oponente va a ser rentable o no.

Went to Showdown Percentage – WTSD – WSD% (Porcentaje de ida al Showdown): cuanto mayor sea este número, más calling stantion será el rival. No hay un número mágico que indique si será rentable o no jugar contra determinado oponente; por contra, me indica cómo debería ajustar mi juego ante el villano. Frente a un jugador con un WSD% muy bajo, apuesto por valor mucho menos a menudo y faroleo con mayor frecuencia.

Won Money At Showdown – W$SD (Dinero ganado en el Showdown): otra estadística bastante útil. Es una medida aproximada de la habilidad después del flop de un jugador. Cuanto mayor sea este número, más probable es que el villano tenga la mejor mano en el showdown. Me ayuda a decidir con qué frecuencia puedo apostar por valor a un rival o ver sus apuestas. De igual forma, me ayuda a distinguir entre buenos y malos LAG (Loose-Agresive), nits (roca, jugador de manual) de TAG (Tight-Aggresive), y maniacos de jugadores agresivos pero listos. Si el W$SD de un oponente es extremadamente alto, lo considero débil y le faroleo con frecuencia. También ajusto el tamaño de mis apuestas, sabiendo que no me costará mucho sacar al villano de la mano. Si por el contrario, el W$SD del rival es extremadamente bajo, apostaré con valor con cualquier mano que haya ligado, esperando que me vea la apuesta frecuentemente. Además, aumento el tamaño de mis apuestas por valor, con la esperanza de ser visto aunque muestre bastante fuerza.

Total Hands – TA (Manos totales): un número increíblemente importante. Indica el grado de confianza que puedes tener en el resto de números que muestra el HUD. Sobre unas 50, el VPIP y el PFR empiezan a ser significativos. Sobre 10.000/VPIP, puedes empezar a hacer caso a la agresividad total (p.e.: 200 manos para un jugador con un VPIP de 50, pero 500 para otro con un VPIP de 20). El W$SD no se ajusta realmente hasta varios miles de manos, así que trátalo de modo orientativo si no tienes esa cantidad; sin embargo, el WSD% adquiere valores confiables mucho antes.

Además de las estadísticas de los rivales, tengo configurado el HUD para que muestre las mías también. El programa las almacena de forma independiente en cada mesa que juguemos; así, podemos de un vistazo comprobar cómo estamos jugando en una mesa determinada, lo que nos ayudará a identificar nuestra imagen en la mesa contra un conjunto específico de rivales. Cuando mi VPIP es grande, sé que parezco un mal jugador. Cuando mi PFR es grande, sé que mis subidas antes del flop no van a ser demasiado respetadas. Cuando mi TA es grande, sé que parezco un forero de 2+2. Cuando mis intentos de robos son frecuentes, sé que empiezo a perder folding equity y debo jugar con mayor prudencia. Si estoy tirándome demasiado ante una apuesta de continuación, sé que algunos jugadores pueden empezar a hacerme movimientos en el flop. Tener en cuenta todos estos números, permite ajustarme adecuadamente a las condiciones siempre cambiantes de la mesa. Be water, my friend.

El último detalle que siempre tengo configurado en mi HUD es la información del showdown. Mostrando las cartas de la mesa y de cada rival me ahorra tener que abrir el historial de manos constantemente para ver qué tenían. Me ayuda a juzgar cómo están jugando, información de vital importancia para cualquier jugador ganador.

Una última cosa: en las ventanas emergentes (pop-up) del HUD tengo cualquier dato que se pueda mostrar. Así, si un jugador hace un movimiento infrecuentemente fuerte, tengo acceso instantáneo a cualquier estadística que pudiera necesitar. ¿Con qué frecuencia pasa en falso en el turn? ¿Con qué frecuencia ve una subida antes del flop? ¿Con qué frecuencia sube las apuestas de continuación? ¿Con qué frecuencia gana cuando ve un flop? Nunca se sabe cuándo un detalle de éstos puede acabar salvando tu stack, y como no cuesta nada tener esa información incluida, deberías configurarlo y poder acceder a ella.